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课程基本信息

课程编码:09B20401

课程类别:未设置

先修课程:

适用专业:信息与计算科学

开课院部:理学院

课程负责人:
课程教学团队:
没有专业教师记录!
课程资源:
没有资源记录!

课程展示


课程简介

《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一,是数学各专业报考研究生的必考课程之一,也是理论性、应用性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的主要在于使学生掌握高等代数的基础理论和论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。

本课程的主要任务是通过教学的主要环节(课堂讲授与讨论、习题课、作业、辅导答疑等),使学生学习和掌握多项式理论、线性代数的代数理论(行列式、线性方程组、矩阵、二次型、 矩阵)及线性代数的几何理论(线性空间、线性变换、欧氏空间)。

Advanced algebra is one of the most important basic courses of undergraduate majors of mathematics and applied mathematics, and information and computing science. It is also one of the compulsory courses for students to examine mathematics graduate, and is a theoretical and practical basic course of Mathematics. The purpose of this course is to enable students to master the basic theory and methods, to get practiced calculus skills and preliminary application techniques, to enhance students’ ability to analyze and solve problems, and to lay a solid foundation for further study of other mathematical knowledge.

The main task of this course is to enable students to master the theory of polynomial and algebraic theory of linear algebra (determinant, linear system of equations, matrix, quadratic form, matrix), and geometric theory of linear algebra (linear space, linear transformation, Euclidean space), through the main links of teaching (classroom teaching and discussion, exercise classes, homework, counseling, etc).

课程教学要求

序号

专业毕业要求

课程教学要求

关联程度

1

工程知识

注重介绍工程背景

L

2

问题分析

分析高等代数的应用

H

3

设计/开发解决方案

 

 

4

研究

能进行高等代数的基础研究

H

5

使用现代工具

 

 

6

工程与社会

 

 

7

环境和可持续发展

 

 

8

职业规范

 

 

9

个人和团队

 

 

10

沟通

 

 

11

项目管理

 

 

12

终身学习

 

 

注:“课程教学要求”栏中内容为针对该课程适用专业的专业毕业要求与相关教学要求的具体描述。“关联程度”栏中字母表示二者关联程度。关联程度按高关联、中关联、低关联三档分别表示为“H”“M”或“L”。“课程教学要求”及“关联程度”中的空白栏表示该课程与所对应的专业毕业要求条目不相关。

课程教学内容

章节

名称

主要内容

重难点关键词

学时

类型

 

多项式

 

1、数域、一元多项式、整除的概念

2、最大公因式

3、因式分解定理、重因式

4、多项式函数、复与实系数因式分解

5、有理系数多项式

 

整除概念、带余除法及整除的性质、最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质、因式分解及唯一性定理、k重因式与k重根的关系、复(实)系数多项式分解定理、本原多项式、Eisenstein判别法。

 

12

理论讲授

 

行列式

 

1、引言、排列、n级行列式

2、 n级行列式的性质

3、 行列式的计算

4、 行列式按一行(列)展开

5、克拉默法则

6、 拉氏定理、行列式乘法规则

 

n级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换、行列式按一行(列)展开的公式、克莱姆(Cramer)法则、拉普拉斯(Laplace)定理。

14

理论讲授

 

线性方程组

 

1、 消元法、n维向量空间

2、 线性相关性

3、 线性相关性(2)

4、 矩阵的秩

5、 线性方程组有解判别定理

6、 线性方程组解的解构

求线性方程组的一般解、线性相关、线性无关、向量组的秩、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、齐次线性方程组的基础解系、求一般线性方程组有解时的全部解。

 

14

理论讲授

矩阵

1、矩阵概念的一些背景、矩阵的计算

2、 矩阵乘积的行列式与秩

3、 矩阵的逆、矩阵的分块

4、 初等矩阵

5、 分块乘法的初等变换及应用

矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、逆矩阵、分块矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。

12

理论讲授

二次型

1、 二次型及其矩阵表示

2、 标准形

3、唯一性

4、正定二次型

二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。

10

理论讲授

线性空间

1、集合与映射、线性空间的定义与性质

2、基维数与坐标、基变换与坐标变换

3、线性子空间

4、子空间交与和

5、子空间直和、6.8线性空间同构

 

判断一个代数系统是否是线性空间、基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义及等价条件、子空间的交与和、子空间的直和。

 

12

理论讲授

线性变换

1、线性变换定义、线性变换运算

2、线性变换矩阵

3、特征值与特征向量

4、对角矩阵

5、线性变换的值域与核

6、不变子空间

7、若当标准形介绍

 

线性变换与矩阵的联系、矩阵相似、线性变换在不同基下的矩阵、矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、相似矩阵与它们的特征多项式的关系、哈密尔顿-凯莱定理、线性变换的值域、核、秩、零度、不变子空间的定义、判定一个子空间是否是σ-子空间、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。

 

16

理论讲授

-矩阵

1、  -矩阵、 -矩阵在初等变换下的标准形

2、不变因子

3、矩阵相似的条件

4、初等因子

5、若当标准形理论推导

6、矩阵的有理标准形

 

矩阵及其等价标准形, 行列式因子、不变因子、初等因子之间的关系及矩阵的若当标准形的求法。

 

14

理论讲授

欧氏空间

1、欧氏空间定义与基本性质、标准正交基

2、同构、正交变换

3、子空间

4、实对称矩阵的标准形

5、向量到子空间的距离、最小二乘法

向量的长度,两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质、正交向量组、标准正交基的概念、施密特正交化、正交变换的概念及几个等价关系、正交变换与向量的长度,标准正交基,正交矩阵间的关系、正交阵、用正交变换化实二次型为标准形。

 

12

理论讲授

双线性函数与辛空间

1、线性函数、对偶空间

2、双线性函数

3、辛空间

线性空间上线性函数与双线性函数。

 

8

理论讲授

 

考核要求及成绩评定

序号

成绩类别

考核方式

考核要求

权重(%)

备注

1

期末成绩

期末考试

闭卷

70

百分制,60分为及格

2

平时成绩

考勤

30次

30

每次旷课扣1分

3

 

 

 

注:此表中内容为该课程的全部考核方式及其相关信息。

学生学习建议

  • 学习方法建议

1.重视问题的工程背景。

2.重视对一些理论问题的计算机几何仿真模拟实验。

  • 学生课外阅读参考资料

        1.朱鼎勋,陈绍菱著 《空间解析几何》,北京师范大学出版社;

        2.丘维声编 ,《解析几何》,北京大学出版社

课程改革与建设

主要教学方法与媒体要求:本课程主要采用传统讲授、PPT多媒体课件教学等的教学方法。

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